23. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если АB = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды АВ равно 21.

Пусть О - центр окружности, OM - расстояние от центра до хорды AB, ON - расстояние от центра до хорды CD. Тогда OM = 21, AB = 40, CD = 42.

OM перпендикулярна AB, ON перпендикулярна CD. Значит, AM = AB/2 = 40/2 = 20, CN = CD/2 = 42/2 = 21.

Рассмотрим треугольник OAM - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$OA^2 = OM^2 + AM^2$$ $$OA^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841$$ $$OA = \sqrt{841} = 29$$

OA - радиус окружности, следовательно, OC = OA = 29.

Рассмотрим треугольник OCN - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$OC^2 = ON^2 + CN^2$$ $$ON^2 = OC^2 - CN^2$$ $$ON^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$$ $$ON = \sqrt{400} = 20$$

Ответ: 20