В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 41 : 40, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 18.

Пусть AH - биссектриса угла A, BD - высота, проведённая из вершины B. Пусть K - точка пересечения AH и BD. По условию, BK : KD = 41 : 40. Обозначим BK = 41x, KD = 40x. Тогда BD = BK + KD = 41x + 40x = 81x.

Так как AH - биссектриса угла A, то по свойству биссектрисы треугольника ABK имеем AB/AK = BK/KH. Также, рассмотрим треугольник ABD. AK - биссектриса, тогда AB/AD = BK/KD = 41/40.

Пусть угол BAH = углу CAH = α. Угол BDA = 90 градусов. В треугольнике ABK: угол BAK = α. Тогда sin(α) = KD/AB = 40x/AB. Отсюда AB = 40x/sin(α).

В прямоугольном треугольнике ABD: sin(A) = BD/AB, значит, sin(2α) = (81x) / (AB). Подставим AB: sin(2α) = 81x / (40x/sin(α)) = (81/40) * sin(α). Используем формулу sin(2α) = 2sin(α)cos(α). Получаем: 2sin(α)cos(α) = (81/40)sin(α). Тогда cos(α) = 81/80. Но cos(α) не может быть больше 1, значит, есть ошибка.

Пусть O - центр описанной окружности. R - радиус описанной окружности. По теореме синусов, BC/sin(A) = 2R. Тогда R = BC / (2sin(A)) = 18 / (2sin(2α)) = 9 / sin(2α).

Пересчитаем углы. Так как BK/KD = 41/40, то sin(α) = 40/41 и cos(α) = √(1 - (40/41)^2) = 9/41.

Тогда sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α) = 2 * (40/41) * (9/41) = 720 / 1681.

R = 9 / sin(2α) = 9 / (720/1681) = (9 * 1681) / 720 = 1681 / 80 = 21.0125

Ответ: 21.0125