Отрезок AB пересекает плоскость α в точке C. Через точки A и B проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁ и B₁. а) Докажите, что точки A₁, B₁ и C лежат на одной прямой. б) Найдите AB, если AA₁ = 9 см, BB₁ = 3 см, AC = 6 см.

а) Прямые AA₁ и BB₁ параллельны и лежат в одной плоскости с прямой AB. Поэтому точки A, B, A₁ и B₁ лежат в этой плоскости. Её пересечение с плоскостью α — прямая A₁B₁. Так как C принадлежит AB и α, точка C принадлежит этой же прямой. Следовательно, A₁, B₁ и C лежат на одной прямой.

б) Треугольники CAA₁ и CBB₁ подобны: у них общий угол при C, а AA₁ ∥ BB₁. Поэтому CA/CB = AA₁/BB₁ = 9/3 = 3. Значит, CB = 6/3 = 2 см, а AB = AC + CB = 6 + 2 = 8 см.

Ответ: AB = 8 см.