Отрезок АК — биссектриса треугольника АВС. На стороне АВ отметили точку М такую, что АМ = МК. Докажите, что MK || AC.

Решение:

Дано:

\( \triangle ABC \).

AK — биссектриса \( \angle BAC \).

\( M \) — точка на стороне \( AB \).

\( AM = MK \).

Доказать:

\( MK \parallel AC \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle AMK \). По условию \( AM = MK \), следовательно, \( \triangle AMK \) — равнобедренный.
2. В равнобедренном \( \triangle AMK \) углы при основании \( AK \) равны:

\( \angle MAK = \angle MKA \).

3. Так как AK — биссектриса \( \angle BAC \) в \( \triangle ABC \), то \( \angle MAK \) (который равен \( \angle BAC \)) и \( \angle KAC \) равны:

\( \angle MAK = \angle KAC \).

4. Из равенств \( \angle MAK = \angle MKA \) и \( \angle MAK = \angle KAC \) следует, что \( \angle MKA = \angle KAC \).
5. Углы \( \angle MKA \) и \( \angle KAC \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( MK \) и \( AC \) секущей \( AK \).
6. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые \( MK \) и \( AC \) параллельны.

Доказано.