Решение задачи 2

А) Доказательство, что точки А₁, В₁ и М₁ лежат на одной прямой:

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые AA₁ и BB₁. Поскольку AA₁ || BB₁, эта плоскость существует. Отрезок AB лежит в этой плоскости. Точка M — середина AB, и MM₁ || AA₁ || BB₁. Следовательно, MM₁ также лежит в этой плоскости. Тогда точки A₁, B₁ и M₁ лежат на пересечении этой плоскости с плоскостью α, а значит, они лежат на одной прямой (линии пересечения двух плоскостей).

Б) Найдём AA₁, если BB₁ = 12 см, MM₁ = 8 см:

Так как M — середина AB, то MM₁ является средней линией трапеции AA₁BB₁. По свойству средней линии трапеции, MM₁ = (AA₁ + BB₁) / 2. Выразим AA₁ из этого уравнения: AA₁ = 2 × MM₁ - BB₁. Подставляем значения MM₁ = 8 см и BB₁ = 12 см: AA₁ = 2 × 8 см - 12 см = 16 см - 12 см = 4 см.

Ответ: Б) AA₁ = 4 см