Отрезок длиной 20 см пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на расстоянии 8 см и 4 см. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.

Пошаговое решение:

1. Пусть отрезок AB пересекает плоскость в точке C. A₁ и B₁ - проекции точек A и B на плоскость. AC = x, CB = 20 - x. Тогда AA₁ = 8 см, BB₁ = 4 см.
2. Из подобия треугольников AA₁C и BB₁C следует пропорция: \( \frac{AA_1}{BB_1} = \frac{AC}{BC} \), \( \frac{8}{4} = \frac{x}{20-x} \). Решаем уравнение: \( 8(20 - x) = 4x \), \( 160 - 8x = 4x \), \( 12x = 160 \), \( x = \frac{40}{3} \) см.
3. Длина проекции: \( A_1C = \sqrt{AC^2 - AA_1^2} = \sqrt{(\frac{40}{3})^2 - 8^2} = \sqrt{\frac{1600}{9} - 64} = \sqrt{\frac{1600 - 576}{9}} = \sqrt{\frac{1024}{9}} = \frac{32}{3} \) см.
4. \( CB = 20 - \frac{40}{3} = \frac{60 - 40}{3} = \frac{20}{3} \) см.
5. \( B_1C = \sqrt{BC^2 - BB_1^2} = \sqrt{(\frac{20}{3})^2 - 4^2} = \sqrt{\frac{400}{9} - 16} = \sqrt{\frac{400 - 144}{9}} = \sqrt{\frac{256}{9}} = \frac{16}{3} \) см.
6. Сумма проекций: \( A_1B_1 = A_1C + B_1C = \frac{32}{3} + \frac{16}{3} = \frac{48}{3} = 16 \) см.

Ответ: 16 см.