Отрезок DM – биссектриса треугольника CDE. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если \( \angle CDE = 68^{\circ} \).

Дано: DM – биссектриса \( \triangle CDE \), MN || CD, \( \angle CDE = 68^{\circ} \). Требуется найти: углы треугольника DMN. 1. Так как DM – биссектриса угла CDE, то \( \angle CDM = \angle MDE = \frac{\angle CDE}{2} = \frac{68^{\circ}}{2} = 34^{\circ} \). Следовательно, \( \angle MDE = 34^{\circ} \). 2. Так как MN || CD, то углы \( \angle DMN \) и \( \angle CDM \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых MN и CD и секущей DM. Поэтому \( \angle DMN = \angle CDM = 34^{\circ} \). 3. Так как MN || CD, то углы \( \angle DNM \) и \( \angle EDC \) являются соответственными при параллельных прямых MN и CD и секущей DE. Следовательно, \( \angle DNM = \angle EDC = 68^{\circ} \). 4. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому, чтобы найти угол \( \angle MDN \), мы вычитаем из 180° сумму двух других известных углов треугольника \( \triangle DMN \). \( \angle MDN = 180^{\circ} - \angle DMN - \angle DNM = 180^{\circ} - 34^{\circ} - 68^{\circ} = 78^{\circ} \). Итого: \( \angle DMN = 34^{\circ} \), \( \angle DNM = 68^{\circ} \), \( \angle MDN = 78^{\circ} \).