6. Парадокс дней рождения В группе из 30 человек. Какова вероятность, что у хотя бы двоих день рождения совпадает? (Считайте, что в году 365 дней, и все даты равновероятны.)

Решение:

Пусть n = 30 - количество людей в группе.

Рассмотрим противоположное событие: дни рождения всех людей различны.

Вероятность того, что у первого человека день рождения в один из 365 дней:

$$P_1 = \frac{365}{365}$$

Вероятность того, что у второго человека день рождения в один из оставшихся 364 дней:

$$P_2 = \frac{364}{365}$$

Вероятность того, что у третьего человека день рождения в один из оставшихся 363 дней:

$$P_3 = \frac{363}{365}$$

И так далее, до 30-го человека:

$$P_{30} = \frac{365 - 30 + 1}{365} = \frac{336}{365}$$

Вероятность того, что у всех 30 человек дни рождения различны:

$$P(\text{все различны}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot ... \cdot \frac{336}{365} = \frac{365!}{335! \cdot 365^{30}}$$

$$P(\text{все различны}) \approx 0,2937$$

Вероятность того, что хотя бы у двоих день рождения совпадает:

$$P(\text{хотя бы у двоих совпадают}) = 1 - P(\text{все различны}) = 1 - 0,2937 = 0,7063$$

Ответ: 0,7063