1. Параллельны ли прямые a и b (рис. 89), если: 1) ∠1 = ∠2 = ∠3; 2) ∠1 = ∠4; 3) ∠1 + ∠2 = 180°; 4) ∠5 + ∠6 = 90°? 2. На рисунке 90 Δ ABC = Δ CDE, BC = DE. Докажите, что ABCD.

1.

Для определения параллельности прямых a и b на рисунке 89 рассмотрим каждый случай:

1. ∠1 = ∠2 = ∠3: Это условие недостаточно для определения параллельности прямых. Например, ∠1 и ∠2 могут быть соответственными углами при пересечении прямых a и b третьей прямой, но при этом не быть равными, что не гарантирует параллельность.
2. ∠1 = ∠4: Если ∠1 и ∠4 равны, а эти углы являются соответственными углами при пересечении прямых a и b секущей, то прямые a и b параллельны.
3. ∠1 + ∠2 = 180°: Если ∠1 и ∠2 в сумме составляют 180°, а эти углы являются односторонними углами при пересечении прямых a и b секущей, то прямые a и b параллельны.
4. ∠5 + ∠6 = 90°: Это условие недостаточно для определения параллельности прямых, поскольку углы ∠5 и ∠6 не образуют пару углов, связанных с параллельностью прямых (например, соответственные, накрест лежащие или односторонние углы).

Вывод: Прямые a и b параллельны, если выполняется условие 2 или 3.

2. Доказательство параллельности ABCD:

Дано: Δ ABC = Δ CDE, BC = DE. Требуется доказать, что ABCD - параллелограмм.

1. Так как Δ ABC = Δ CDE, то соответствующие стороны и углы равны. Следовательно, AC = CE и ∠BCA = ∠DEC.
2. Из равенства ∠BCA = ∠DEC следует, что прямые AB и DE параллельны (как внутренние накрест лежащие углы при секущей CE).
3. Так как BC = DE, и эти стороны параллельны, то четырёхугольник BCDE - параллелограмм.
4. Значит, BD || CE и BD = CE.
5. Но AC = CE, следовательно, BD = AC.
6. Таким образом, ABCD - параллелограмм, так как его противоположные стороны AC и BD параллельны и равны.

Вывод: ABCD - параллелограмм.