5. Пассажирский поезд проходит расстояние между горо- дами, равное 450 км, на 1 час 30 минут быстрее товар- ного. Найдите скорость товарного поезда, если она на 10 км/ч меньше скорости пассажирского.

Пусть скорость товарного поезда равна x км/ч, тогда скорость пассажирского поезда равна x + 10 км/ч.

Время, которое товарный поезд затратил на путь: $$\frac{450}{x}$$ ч.

Время, которое пассажирский поезд затратил на путь: $$\frac{450}{x+10}$$ ч.

По условию, пассажирский поезд прошел путь на 1 час 30 мин = 1.5 ч быстрее, чем товарный:

$$\frac{450}{x} - \frac{450}{x+10} = 1.5$$

$$\frac{450(x+10) - 450x}{x(x+10)} = 1.5$$

$$\frac{450x + 4500 - 450x}{x^2 + 10x} = 1.5$$

$$\frac{4500}{x^2 + 10x} = 1.5$$

$$4500 = 1.5(x^2 + 10x)$$

$$x^2 + 10x = \frac{4500}{1.5} = 3000$$

$$x^2 + 10x - 3000 = 0$$

Дискриминант: $$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100 = 110^2$$.

Корни: $$x_1 = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$$, $$x_2 = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$$.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 50 км/ч (скорость товарного поезда).

Ответ: 50 км/ч