23 PATOE : PASOF = 2 : 3 x + y = 10, TE || SF T x O E y S F

$$P_{ATOE} : P_{ASOF} = 2:3, x + y = 10, TE || SF$$

Треугольники ATOE и ASOF подобны, т.к. TE || SF, то $$\angle ATE = \angle ASF$$ и $$\angle AET = \angle AFS$$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е.

$$\frac{P_{ATOE}}{P_{ASOF}} = k^2$$

$$\frac{2}{3} = k^2$$

$$k = \sqrt{\frac{2}{3}}$$

Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, т.е.

$$\frac{x}{y} = \sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$x = y\sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$x + y = 10$$

$$y\sqrt{\frac{2}{3}} + y = 10$$

$$y(\sqrt{\frac{2}{3}} + 1) = 10$$

$$y = \frac{10}{\sqrt{\frac{2}{3}} + 1} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} + 1} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$$

$$x = 10 - \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2} + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$$

Ответ: $$x = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}, y = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$$