*. Периметр правильного четырехугольника, вписанного в окружность, на 16(√2-1) см меньше периметра правильного четырехугольника, описанного около этой же окружности. Найдите радиус окружности.

Логика такая:

Решение:

Пусть радиус окружности равен R.

Тогда сторона описанного квадрата равна \(2R\), а его периметр \(P_{опис} = 4 \cdot 2R = 8R\).

Сторона вписанного квадрата равна \(R \sqrt{2}\), а его периметр \(P_{впис} = 4 \cdot R \sqrt{2} = 4R \sqrt{2}\).

По условию задачи: \(P_{опис} - P_{впис} = 16(\sqrt{2}-1)\).

Подставим выражения для периметров: \(8R - 4R \sqrt{2} = 16(\sqrt{2}-1)\).

Вынесем общий множитель \(4R\) в левой части: \(4R(2 - \sqrt{2}) = 16(\sqrt{2}-1)\).

Разделим обе части уравнения на 4: \(R(2 - \sqrt{2}) = 4(\sqrt{2}-1)\).

Разделим обе части уравнения на \((2 - \sqrt{2})\): \(R = \frac{4(\sqrt{2}-1)}{(2 - \sqrt{2})}\).

Умножим числитель и знаменатель на \((2 + \sqrt{2})\): \(R = \frac{4(\sqrt{2}-1)(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{4(2\sqrt{2} + 2 - 2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{4(\sqrt{2})}{2} = 2\sqrt{2}\).

Радиус окружности равен \(2\sqrt{2}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{2}\) см.