12. Периметр равнобедренного треугольника равен 48, а боковая сторона – 15. Найдите площадь треугольника.

Пусть $$P$$ - периметр, $$a$$ - боковая сторона, $$b$$ - основание равнобедренного треугольника. Тогда $$P = 2a + b$$, откуда можно выразить основание: $$b = P - 2a$$. Подставим известные значения: $$b = 48 - 2 * 15 = 48 - 30 = 18$$. Теперь мы знаем все три стороны треугольника: $$a=15$$, $$a=15$$, $$b=18$$. Для нахождения площади воспользуемся формулой Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)}$$, где $$p$$ - полупериметр, $$p = \frac{P}{2} = \frac{48}{2} = 24$$. $$S = \sqrt{24(24-15)(24-15)(24-18)} = \sqrt{24 * 9 * 9 * 6} = \sqrt{24 * 6 * 81} = \sqrt{144 * 81} = \sqrt{12^2 * 9^2} = 12 * 9 = 108$$. **Ответ: 108**