Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь

1. Шаг 1: Найдем основание треугольника

   Пусть a - боковая сторона, b - основание. Периметр P = 2a + b. Тогда:

   \[ 216 = 2 \cdot 78 + b \]

   \[ 216 = 156 + b \]

   \[ b = 216 - 156 = 60 \]

2. Шаг 2: Найдем высоту треугольника

   Высота (h) в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является также медианой. Поэтому она делит основание пополам.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, половиной основания и высотой. По теореме Пифагора:

   \[ h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2 \]

   \[ h^2 + (\frac{60}{2})^2 = 78^2 \]

   \[ h^2 + 30^2 = 78^2 \]

   \[ h^2 + 900 = 6084 \]

   \[ h^2 = 6084 - 900 = 5184 \]

   \[ h = \sqrt{5184} = 72 \]

3. Шаг 3: Найдем площадь треугольника

   Площадь треугольника (S) равна половине произведения основания на высоту:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \]

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 72 = 30 \cdot 72 = 2160 \]

Ответ: 2160