540 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольни вписан ромб DMFN так, что вершины М. F и N лежат соот ветственно на сторонах CD, СЕ И ДЕ. Найдите стороны CDi DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.

Так как DMFN - ромб, то CD || FN и DE || MD, следовательно, треугольник CFN подобен треугольнику CDE и треугольник EFN подобен треугольнику CDE. Пусть CD = x, DE = y, тогда, так как треугольник CFN подобен треугольнику CDE, то выполняется соотношение:

$$\frac{CF}{CE} = \frac{FN}{DE}$$

Тогда

$$CE = CF + FE = 8 + 12 = 20$$ $$\frac{8}{20} = \frac{FN}{y}$$ $$FN = \frac{8y}{20} = \frac{2y}{5}$$

Так как DMFN - ромб, то FN = DM. Так как треугольник DMF подобен треугольнику CDE, то выполняется соотношение:

$$\frac{DM}{CD} = \frac{EF}{CE}$$ $$\frac{FN}{CD} = \frac{EF}{CE}$$ $$\frac{\frac{2y}{5}}{x} = \frac{12}{20}$$ $$\frac{2y}{5x} = \frac{3}{5}$$ $$10y = 15x$$ $$y = \frac{3x}{2}$$

Периметр треугольника CDE равен 55 см, следовательно:

$$CD + DE + CE = 55$$ $$x + y + 20 = 55$$ $$x + y = 35$$

Подставим y = \frac{3x}{2} в уравнение:

$$x + \frac{3x}{2} = 35$$ $$\frac{2x + 3x}{2} = 35$$ $$\frac{5x}{2} = 35$$ $$5x = 70$$ $$x = 14$$

CD = x = 14 см, тогда

$$y = \frac{3 \cdot 14}{2} = 3 \cdot 7 = 21$$

DE = y = 21 см.

Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см