6. Периметры подобных треугольников относятся как 3: 5, и площадь одного из треугольников составляет 45 см². Какой должна быть площадь другого треугольника?

Пусть даны два подобных треугольника. Отношение их периметров равно 3:5. Площадь одного из треугольников равна 45 см². Требуется найти площадь другого треугольника.

Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их линейных размеров (например, сторон или периметров). Обозначим площади треугольников как $$S_1$$ и $$S_2$$, а их периметры как $$P_1$$ и $$P_2$$. Тогда имеем:

$$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^2$$

1. Дано, что $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{3}{5}$$. Значит, $$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$$.
2. Пусть $$S_1 = 45 \text{ см}^2$$. Тогда $$\frac{45}{S_2} = \frac{9}{25}$$.
3. Чтобы найти $$S_2$$, выразим его из пропорции: $$S_2 = \frac{45 \cdot 25}{9}$$.
4. Вычислим значение: $$S_2 = \frac{45}{9} \cdot 25 = 5 \cdot 25 = 125 \text{ см}^2$$.

Ответ: Площадь другого треугольника должна быть 125 см².