Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к его диагонали, делит её на отрезки, равные 2 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть ABCD — прямоугольник, у которого из вершины B проведен перпендикуляр BH к диагонали AC. Пусть AH = 2 см и HC = 8 см. Тогда AC = AH + HC = 2 + 8 = 10 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠ABC = 90°. BH — высота, проведенная к гипотенузе AC. Воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике: высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

$$BH^2 = AH \cdot HC$$

$$BH^2 = 2 \cdot 8 = 16$$

$$BH = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$$

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

1. Через катеты: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC$$
2. Через гипотенузу и высоту: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH$$

Приравняем выражения для площади:

$$\frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} AC \cdot BH$$

$$AB \cdot BC = AC \cdot BH = 10 \cdot 4 = 40$$

Площадь прямоугольника ABCD равна удвоенной площади треугольника ABC:

$$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 40 \text{ см}^2$$

Ответ: 40 см²