Первая задача: Дан квадрат \(ABCD\) со стороной \(AB = 2\). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\).

**1. Вектор \(\overrightarrow{CA}\)**: Вектор \(\overrightarrow{CA}\) - диагональ квадрата. Длина диагонали квадрата со стороной \(a\) равна \(a\sqrt{2}\). В нашем случае, сторона квадрата равна 2, поэтому длина диагонали \(CA = 2\sqrt{2}\). **2. Угол между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\)**: Угол между стороной квадрата и его диагональю равен \(\frac{\pi}{4}\) радиан (45 градусов). Поскольку вектор \(\overrightarrow{BC}\) направлен из точки \(C\) в точку \(A\) и наоборот, угол между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) равен \(135^{\circ}\) градусам или \(\frac{3\pi}{4}\) радиан. **3. Скалярное произведение**: Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вычисляется по формуле: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$$ где \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - длины векторов, а \(\theta\) - угол между ними. В нашем случае: $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(135^{\circ})$$ Подставляем известные значения: \(|\overrightarrow{BC}| = 2\) и \(|\overrightarrow{CA}| = 2\sqrt{2}\), а также \(\cos(135^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -4$$ **Ответ**: Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) равно -4. --- **Развёрнутый ответ для школьника**: Представь, у нас есть квадрат. Нам нужно найти кое-что специальное между двумя линиями (векторами) внутри этого квадрата. Это называется "скалярное произведение". 1. Первая линия - диагональ квадрата. Если сторона квадрата равна 2, то диагональ будет чуть больше - \(2\sqrt{2}\). 2. Угол между векторами — это как направление, куда смотрят эти линии. В нашем случае, угол между ними 135 градусов. 3. Теперь представь, что у нас есть формула, которая связывает длины линий и угол между ними. Подставляем известные значения в формулу и получаем ответ: -4. Это и есть скалярное произведение между векторами.