Вторая задача: Дан равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 4\). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\).

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны \(60^{\circ}\) или \(\frac{\pi}{3}\) радиан. В данном случае, сторона \(AB = 4\), значит \(BC = CA = AB = 4\). Угол между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) — это внешний угол треугольника при вершине \(C\). Внешний угол равен сумме двух других внутренних углов треугольника, не смежных с ним. Таким образом, угол между \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) равен \(180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\) или \(\frac{2\pi}{3}\) радиан. Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) по формуле: $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(\theta)$$ В нашем случае, \(|\overrightarrow{BC}| = 4\), \(|\overrightarrow{CA}| = 4\), и \(\theta = 120^{\circ}\), \(\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}\): $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = 4 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -8$$ **Ответ**: Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) равно -8. --- **Развёрнутый ответ для школьника**: Представь, у нас есть равносторонний треугольник. Нам нужно найти скалярное произведение между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\). 1. Все стороны и углы треугольника известны. Угол между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) равен 120 градусам. 2. Используем формулу для скалярного произведения. Подставляем известные значения и получаем ответ: -8.