8. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Обозначим события:

• $$A$$ – выпали 3 и 5
• $$B$$ – бросали второй кубик

Нам нужно найти условную вероятность $$P(B|A)$$, то есть вероятность того, что бросали второй кубик, при условии, что выпали 3 и 5. Используем формулу Байеса:

$$P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}$$

Найдем вероятности:

• $$P(B) = \frac{1}{2}$$ (вероятность выбора второго кубика, так как кубик выбирается случайно)
• $$P(A|B)$$ – вероятность выпадения 3 и 5 при бросании второго кубика. На втором кубике числа 1, 3, 5 встречаются по два раза, а всего граней 6. Значит, вероятность выпадения 3 равна $$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$, и вероятность выпадения 5 тоже $$\frac{1}{3}$$. Возможны два варианта: сначала 3, потом 5, или наоборот.

$$P(A|B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$$

• $$P(A)$$ – вероятность выпадения 3 и 5 при бросании любого кубика. Здесь нужно учесть, что кубик может быть первым или вторым.

$$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$$

$$P(\overline{B}) = \frac{1}{2}$$ (вероятность выбора первого кубика)

$$P(A|\overline{B})$$ – вероятность выпадения 3 и 5 при бросании первого кубика. На первом кубике каждое число встречается один раз, значит, вероятность выпадения 3 равна $$\frac{1}{6}$$, и вероятность выпадения 5 тоже $$\frac{1}{6}$$.

$$P(A|\overline{B}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$

$$P(A) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} + \frac{1}{36} = \frac{5}{36}$$

Теперь подставим все значения в формулу Байеса:

$$P(B|A) = \frac{\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{36}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{5}{36}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{36}{5} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5} = 0,8$$

Ответ: 0,8