576 P куля лярны. Докажите, что площадь четырёхугольника рав половине произведения его диагоналей.

Пусть дан четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Обозначим диагонали $$d_1$$ и $$d_2$$. Необходимо доказать, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$.

Рассмотрим четырехугольник $$ABCD$$, в котором диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$ и взаимно перпендикулярны. Тогда площадь четырехугольника можно представить как сумму площадей четырех треугольников: $$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA}$$.

Площадь каждого треугольника равна половине произведения основания на высоту. В данном случае, основаниями являются отрезки диагонали $$AC$$, а высотами - отрезки диагонали $$BD$$.

$$S_{AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO$$

$$S_{BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot OC$$

$$S_{COD} = \frac{1}{2} OC \cdot DO$$

$$S_{DOA} = \frac{1}{2} DO \cdot AO$$

Сумма площадей:

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO + \frac{1}{2} BO \cdot OC + \frac{1}{2} OC \cdot DO + \frac{1}{2} DO \cdot AO = \frac{1}{2}(AO \cdot BO + BO \cdot OC + OC \cdot DO + DO \cdot AO)$$.

Вынесем общие множители:

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2}(BO(AO + OC) + DO(OC + AO)) = \frac{1}{2}(BO \cdot AC + DO \cdot AC) = \frac{1}{2}AC(BO + DO) = \frac{1}{2}AC \cdot BD$$

Таким образом, $$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2$$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.