31.40. Плавучий буй представляет собой сплошной пластиковый шар, к которому на длинном тросе привязан чугунный груз. Во сколько раз объем шара должен превышать объем груза, чтобы шар был погружен в воду на три четверти своего объема? Плотность пластика 500 кг/м$$^3$$.

Для решения этой задачи нужно воспользоваться условием плавания тел. Буй находится в равновесии, когда сила Архимеда равна сумме весов шара и груза. Шар погружен на три четверти своего объема. 1. **Обозначения:** * $$V_\text{ш}$$ - объем шара * $$V_\text{г}$$ - объем груза * $$\rho_\text{пл}$$ - плотность пластика шара (500 кг/м$$^3$$) * $$\rho_\text{чуг}$$ - плотность чугуна (примерно 7800 кг/м$$^3$$) * $$\rho_\text{в}$$ - плотность воды (1000 кг/м$$^3$$) * $$g$$ - ускорение свободного падения (9.8 м/с$$^2$$) 2. **Запишем условие плавания:** \begin{equation} F_A = P_\text{ш} + P_\text{г} \end{equation} где $$F_A$$ - сила Архимеда, $$P_\text{ш}$$ - вес шара, $$P_\text{г}$$ - вес груза. 3. **Выразим силу Архимеда:** \begin{equation} F_A = \rho_\text{в} \cdot (\frac{3}{4} V_\text{ш}) \cdot g \end{equation} 4. **Выразим вес шара:** \begin{equation} P_\text{ш} = \rho_\text{пл} \cdot V_\text{ш} \cdot g \end{equation} 5. **Выразим вес груза:** \begin{equation} P_\text{г} = \rho_\text{чуг} \cdot V_\text{г} \cdot g \end{equation} 6. **Подставим выражения в условие плавания:** \begin{equation} \rho_\text{в} \cdot (\frac{3}{4} V_\text{ш}) \cdot g = \rho_\text{пл} \cdot V_\text{ш} \cdot g + \rho_\text{чуг} \cdot V_\text{г} \cdot g \end{equation} 7. **Сократим на $$g$$ и перегруппируем:** \begin{equation} \frac{3}{4} \rho_\text{в} V_\text{ш} - \rho_\text{пл} V_\text{ш} = \rho_\text{чуг} V_\text{г} \end{equation} 8. **Вынесем $$V_\text{ш}$$ за скобки:** \begin{equation} V_\text{ш} (\frac{3}{4} \rho_\text{в} - \rho_\text{пл}) = \rho_\text{чуг} V_\text{г} \end{equation} 9. **Найдем отношение $$V_\text{ш} / V_\text{г}$$:** \begin{equation} \frac{V_\text{ш}}{V_\text{г}} = \frac{\rho_\text{чуг}}{\frac{3}{4} \rho_\text{в} - \rho_\text{пл}} \end{equation} 10. **Подставим значения плотностей:** \begin{equation} \frac{V_\text{ш}}{V_\text{г}} = \frac{7800}{\frac{3}{4} \cdot 1000 - 500} = \frac{7800}{750 - 500} = \frac{7800}{250} = 31.2 \end{equation} **Ответ:** Объем шара должен превышать объем груза в 31.2 раза.