В данном предложении верным является вариант I'll stay.
I'll stay - это сокращенная форма будущего времени (Future Simple) от фразы I will stay.
I'll stay a little longer, but I have to go soon - Я останусь еще немного, но мне скоро нужно идти.
I'm staying - форма настоящего продолженного времени (Present Continuous). Этот вариант не подходит, так как речь идет о будущем времени.
Ответ: I'll stay