5. Площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны, составляет 32 дм². Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$, где a и b - катеты треугольника.

Дано, что $$S = 32 \text{ дм}^2$$. Также дано, что катеты равны, то есть a = b.

$$32 = \frac{1}{2}a^2$$

$$a^2 = 64$$

$$a = 8 \text{ дм}$$

Катеты треугольника равны 8 дм. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Гипотенузу c найдем по теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$$.

$$c = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ дм}$$

Радиус описанной окружности: $$R = \frac{c}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$$

Ответ: $$4\sqrt{2}$$ дм