3. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3.Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

1. Шаг 1: Вспомним формулу площади прямоугольного треугольника

   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

   \[ S = \frac{1}{2}ab \]

   где a и b — катеты треугольника.

2. Шаг 2: Используем тригонометрические соотношения

   Пусть один из острых углов равен 60°. Обозначим катет, прилежащий к этому углу, как x. Тогда противолежащий катет можно выразить через тангенс угла 60°:

   \[ \tan(60^\circ) = \frac{b}{a} = \frac{b}{x} \]

   Мы знаем, что \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), следовательно:

   \[ b = x\sqrt{3} \]
3. Шаг 3: Подставим в формулу площади

   Площадь задана как \(32\sqrt{3}\), поэтому:

   \[ \frac{1}{2}x(x\sqrt{3}) = 32\sqrt{3} \]
4. Шаг 4: Решим уравнение

   Упростим уравнение:

   \[ \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 = 32\sqrt{3} \]

   Разделим обе части на \(\sqrt{3}\):

   \[ \frac{1}{2}x^2 = 32 \]

   Умножим обе части на 2:

   \[ x^2 = 64 \]

   Извлечем квадратный корень:

   \[ x = \sqrt{64} = 8 \]

   Так как длина катета не может быть отрицательной, берем положительное значение.

Ответ: 8