Площадь прямоугольного треугольника равна 512√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле $$ S = \frac{1}{2}ab $$, где a и b - катеты. Один из острых углов равен 60°, значит, второй угол равен 30°. Пусть a - катет, прилежащий к углу 60°, тогда $$ tg(60°) = \frac{b}{a} $$, $$ b = a \cdot tg(60°) = a\sqrt{3} $$. $$ S = \frac{1}{2} a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} $$. $$ \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 512\sqrt{3} $$. $$ a^2 = \frac{2 \cdot 512 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1024 $$. $$ a = \sqrt{1024} = 32 $$.

Ответ: 32