1. Площадь прямоугольного треугольника равна 128√3/3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{1}{2}ab$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты треугольника.

Пусть $$a$$ - катет, лежащий против угла в $$60^\circ$$, а $$b$$ - другой катет. Тогда $$\tan(60^\circ) = \frac{a}{b}$$, откуда $$b = \frac{a}{\tan(60^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.

Подставим это в формулу площади:$$S = \frac{1}{2}a\cdot\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a^2}{2\sqrt{3}}$$

По условию, $$S = \frac{128\sqrt{3}}{3}$$. Приравняем и решим уравнение относительно $$a$$:$$\frac{a^2}{2\sqrt{3}} = \frac{128\sqrt{3}}{3}$$$$a^2 = \frac{2\sqrt{3}\cdot 128\sqrt{3}}{3} = \frac{2\cdot 3\cdot 128}{3} = 256$$$$a = \sqrt{256} = 16$$

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла в $$60^\circ$$, равна 16.

Ответ: 16