Площадь прямоугольного треугольника равна 128√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Краткая запись:

• Площадь (S) = 128√3
• Один острый угол = 60°
• Найти: Прилежащий катет — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим катеты прямоугольного треугольника как 'a' и 'b'. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \).
2. Шаг 2: Пусть угол, прилежащий к катету 'a', равен 60°. Тогда второй острый угол равен 90° - 60° = 30°.
3. Шаг 3: Используем тригонометрические соотношения. Тангенс угла 60° равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \tan(60°) = \frac{b}{a} \). Так как \( \tan(60°) = \sqrt{3} \), то \( b = a \cdot \sqrt{3} \).
4. Шаг 4: Подставим выражение для 'b' в формулу площади: \( 128\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \cdot \sqrt{3}) \).
5. Шаг 5: Упростим уравнение: \( 128\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} \).
6. Шаг 6: Разделим обе части на \( \sqrt{3} \): \( 128 = \frac{1}{2} \cdot a^2 \).
7. Шаг 7: Умножим обе части на 2: \( 256 = a^2 \).
8. Шаг 8: Найдем 'a', извлекая квадратный корень: \( a = \sqrt{256} = 16 \).

Ответ: 16