Площадь прямоугольного треугольника равна \(24\sqrt{3}\). Один из острых углов равен \(30^\circ\). Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пусть катет, противолежащий углу \(30^\circ\), равен \(x\). Тогда прилежащий катет равен \(x\sqrt{3}\), поскольку в прямоугольном треугольнике с углами \(30^\circ\) и \(60^\circ\) катеты относятся как \(1:\sqrt{3}\).

По формуле площади:

\[\frac{x\cdot x\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}.\]

Сокращаем на \(\sqrt{3}\): \(\frac{x^2}{2}=24\), откуда \(x^2=48\) и \(x=4\sqrt{3}\). Тогда прилежащий катет равен \(x\sqrt{3}=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12\).

Ответ: 12.