15. Площадь прямоугольного треугольника равна $$\frac{800\sqrt{3}}{3}$$. Один из острых углов равен $$60^\circ$$. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 60°, тогда угол B = 30°. Площадь треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} * AC * BC$$. Пусть AC - катет, лежащий напротив угла в 30°, а BC - катет, лежащий напротив угла в 60°. Тогда BC - искомый катет. Так как тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то $$\tan{60^\circ} = \frac{BC}{AC}$$. Отсюда $$AC = \frac{BC}{\tan{60^\circ}} = \frac{BC}{\sqrt{3}}$$. Подставим это значение в формулу площади: $$S = \frac{1}{2} * \frac{BC}{\sqrt{3}} * BC = \frac{BC^2}{2\sqrt{3}}$$. По условию $$S = \frac{800\sqrt{3}}{3}$$. Приравняем: $$\frac{BC^2}{2\sqrt{3}} = \frac{800\sqrt{3}}{3}$$. $$BC^2 = \frac{800\sqrt{3} * 2\sqrt{3}}{3} = \frac{800 * 2 * 3}{3} = 1600$$. $$BC = \sqrt{1600} = 40$$. Ответ: 40