12. Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{578\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Площадь прямоугольного треугольника: S = \(\frac{1}{2}\)ab = \(\frac{578\sqrt{3}}{3}\), угол = 30.
Пусть a - прилежащий катет, b - противолежащий катет. Тогда b = a * tg(30) = a * \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
S = \(\frac{1}{2}\) * a * a * \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) = \(\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\) = \(\frac{578\sqrt{3}}{3}\)
a^2 = \(\frac{578\sqrt{3} * 6}{3 * \sqrt{3}}\) = 578 * 2 = 1156
a = \(\sqrt{1156}\) = 34.
Ответ: 34