169. Площадь прямоугольного треугольника равна 50/3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab$$.

Дано: $$S = 50\sqrt{3}$$, $$\alpha = 30^\circ$$.

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Катеты: $$a = c \sin \alpha$$, $$b = c \cos \alpha$$

Подставляем в формулу площади: $$S = \frac{1}{2} c^2 \sin \alpha \cos \alpha$$

$$50\sqrt{3} = \frac{1}{2} c^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$50\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$$

$$c^2 = \frac{50\sqrt{3} \cdot 8}{\sqrt{3}} = 400$$

$$c = \sqrt{400} = 20$$

Ответ: 20