11. Площадь трапеции

Окружность с радиусом $$r = 3$$ вписана в равнобедренную трапецию $$ABCD$$. Окружность касается боковой стороны $$AB$$ в точке $$E$$. Известно, что $$BE = 2$$, и $$BC$$ - меньшее основание трапеции. Найти площадь трапеции. Так как в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. А так как трапеция равнобедренная, то $$AB = CD$$. Пусть $$O$$ - центр окружности, а $$K$$ - точка касания окружности со стороной $$AB$$. Тогда $$OK \perp AB$$, и $$OK = r = 3$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OBE$$, где $$OB$$ - гипотенуза, $$OE$$ - радиус, проведенный в точку касания. $$OK = r = 3$$ является высотой этого треугольника. Пусть $$AE = x$$, тогда $$AB = x + 2$$. $$AB+CD=AD+BC \\ 2AB = AD + BC$$ Высота трапеции равна $$2r=6$$. Рассмотрим трапецию $$ABCD$$. Пусть $$BC=a$$ и $$AD=b$$. Тогда площадь трапеции $$S=\frac{a+b}{2}h=AB*h=6AB$$ По свойству описанного четырехугольника $$AB = \frac{AD+BC}{2}$$ Следовательно $$S=6AB$$ Рассмотрим треугольник $$ABO$$. По теореме Пифагора $$AO^2=AE^2+OE^2$$ и $$BO^2=BE^2+OE^2$$ $$\sin(A)=\frac{OE}{AO}=\frac{3}{AO}$$ и $$\sin(B)=\frac{OE}{BO}=\frac{3}{BO}$$ и следовательно $$\sin(A)+\sin(B)=1$$ По свойству касательной $$AE=AM$$ и $$BE=BN$$ где $$M$$ и $$N$$ - точки касания на стороне $$AD$$ и $$BC$$ соответственно. Из этого следует $$AE+BE=AM+BN=AB$$. И следовательно $$a+b=2AB$$ $$S= \frac{a+b}{2}h = \frac{2AB}{2}*6 = 6AB$$ Дополнительно нужно найти $$AB$$. В данном случае необходимо рассмотреть свойства описанных четырехугольников и подобие треугольников для нахождения AB. К сожалению, без дополнительных данных решение не может быть доведено до конца. Но общая логика решения задачи такова.