25.34. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны 4 см² и 9 см². Найдите площадь трапеции.

Решение:

• Пусть \(ABCD\) - трапеция, где \(BC\) и \(AD\) - основания. Обозначим точку пересечения диагоналей как \(O\).
• Пусть \(S_{BOC} = 4\) см² и \(S_{AOD} = 9\) см². Треугольники \(BOC\) и \(AOD\) подобны, так как \(\angle BOC = \angle AOD\) (вертикальные) и \(\angle OBC = \angle ODA\) (накрест лежащие).
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2\). Тогда \(k^2 = \frac{4}{9}\), следовательно, \(k = \frac{2}{3}\).
• Отношение оснований равно коэффициенту подобия: \(\frac{BC}{AD} = \frac{2}{3}\).
• Площади треугольников \(ABO\) и \(CDO\) равны. Докажем это. Площадь \(ABC = S_{BOC} + S_{ABO}\), а площадь \(DBC = S_{BOC} + S_{CDO}\). Отношение \(\frac{ABC}{DBC} = \frac{AD}{BC} = \frac{3}{2}\), а высота из точки \(B\) ко всем треугольникам равна, т.е. \(ABC = DBC\).
• Значит, \(S_{ABO} = S_{CDO}\). Обозначим эту площадь как \(x\).
• \(\frac{S_{ABO}}{S_{AOD}} = \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{3}\). Тогда \(\frac{x}{9} = \frac{2}{3}\), следовательно, \(x = \frac{2 \cdot 9}{3} = 6\).
• Площадь трапеции равна сумме площадей четырех треугольников: \(S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{ABO} + S_{CDO} = 4 + 9 + 6 + 6 = 25\).

Ответ: 25 см²