762. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведённую к основанию, на отрезки, длины которых равр 24 см и 16 см. Найдите площадь данного треугольника.

Ответ: 960 см²

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Пусть O - центр вписанной окружности, а BD - высота, проведенная к основанию AC. Центр O делит высоту BD на отрезки BO = 24 см и OD = 16 см. Следовательно, BD = BO + OD = 24 + 16 = 40 см.

Пусть радиус вписанной окружности равен r. Тогда r = OD = 16 см.

Пусть AD = x. Тогда AC = 2x (так как треугольник равнобедренный и высота является медианой).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

AB² = AD² + BD²

AB² = x² + 40² = x² + 1600

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

S = 0. 5 * AC * BD = 0.5 * 2x * 40 = 40x

S = p * r, где p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.

p = (AB + BC + AC) / 2 = (2AB + AC) / 2 = (2AB + 2x) / 2 = AB + x

S = (AB + x) * 16

Приравняем два выражения для площади:

40x = (AB + x) * 16

40x = 16AB + 16x

24x = 16AB

AB = \(\frac{24x}{16}\) = \(\frac{3x}{2}\)

Подставим AB в уравнение теоремы Пифагора:

(\(\frac{3x}{2}\))² = x² + 1600

\(\frac{9x^2}{4}\) = x² + 1600

9x² = 4x² + 6400

5x² = 6400

x² = 1280

x = \(\sqrt{1280}\) = \(\sqrt{256 \cdot 5}\) = 16\(\sqrt{5}\)

Тогда:

• AC = 2x = 32\(\sqrt{5}\)

Площадь треугольника:

S = 0. 5 * AC * BD = 0.5 * 32\(\sqrt{5}\) * 40 = 16\(\sqrt{5}\) * 40 = 640\(\sqrt{5}\)

Площадь равна 640\(\sqrt{5}\) см².

Ответ: 640\(\sqrt{5}\) см²