25.31. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 9 : 8, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Решение:

• Пусть боковая сторона треугольника равна \(9x + 8x = 17x\). Тогда касательные из вершины к окружности равны \(9x\).
• Обозначим основание треугольника как \(2y\). Тогда касательные из вершины основания к окружности равны \(y\).
• Тогда \(9x = y + 8x\), то есть \(x = y\).
• Основание равно \(2x\), боковые стороны равны \(17x\). Полупериметр равен \(p = \frac{2x + 17x + 17x}{2} = 18x\).
• Площадь треугольника \(S = pr = 18x \cdot 16\).
• Высоту найдем по теореме Пифагора: \(h^2 = (17x)^2 - x^2 = 289x^2 - x^2 = 288x^2\), \(h = \sqrt{288x^2} = 12x\sqrt{2}\).
• Площадь треугольника также равна \(S = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 12x\sqrt{2} = 12x^2\sqrt{2}\).
• Приравняем два выражения для площади: \(18x \cdot 16 = 12x^2\sqrt{2}\).
• Разделим обе части на \(12x\): \(3x \cdot \frac{4}{3} = x\sqrt{2}\), \(24 = x\sqrt{2}\), \(x = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}\).
• Теперь найдем площадь: \(S = 12x^2\sqrt{2} = 12 \cdot (12\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = 12 \cdot 144 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 3456\sqrt{2}\).

Ответ: \(3456\sqrt{2}\) см²