Плоскость α проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD — точки M и N соответственно. а) Докажите, что BC ∥ α. б) Найдите MN, если BC = 6 см, AD = 10 см.

а) Отрезок MN соединяет середины боковых сторон трапеции, поэтому является её средней линией: MN ∥ AD и MN ∥ BC. Прямая MN лежит в плоскости α, значит, BC параллельна прямой MN, лежащей в α. При этом BC не лежит в α: если бы BC принадлежала α, то α содержала бы и пересекающую её прямую AB, а значит, совпала бы с плоскостью трапеции, что противоречит тому, что α проходит через середины боковых сторон. Следовательно, BC ∥ α.

б) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

MN = (AD + BC) / 2 = (10 + 6) / 2 = 8 см.

Ответ: а) BC ∥ α; б) 8 см.