Прямая CD проходит через вершину C треугольника ABC, причём D не лежит в плоскости ABC. E и F — середины отрезков AB и BC. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) Точки E и F лежат в плоскости ABC, поэтому EF лежит в этой плоскости. По теореме о средней линии треугольника ABC, EF ∥ AC. Прямая CD пересекает плоскость ABC только в точке C, а C не принадлежит EF, следовательно, CD и EF не пересекаются. Они также не параллельны: EF параллельна AC, а CD не лежит в плоскости ABC. Значит, CD и EF — скрещивающиеся прямые.

б) Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными им. Так как EF ∥ AC, угол между CD и EF равен углу между CD и AC, то есть ∠DCA = 60°.

Ответ: а) CD и EF — скрещивающиеся; б) 60°.