15.6. Плоскости правильных треугольников \(ABC\) и \(ADC\) перпендикулярны. Найдите угол между прямой \(BD\) и плоскостью \(ABC\).

Ответ:

Пусть \(O\) - середина \(AC\). Так как \(ABC\) и \(ADC\) - правильные треугольники, то \(BO \perp AC\) и \(DO \perp AC\). Так как плоскости \(ABC\) и \(ADC\) перпендикулярны, то \(DO \perp (ABC)\). Следовательно, угол между \(BD\) и плоскостью \(ABC\) - это угол \(DBO\).

Так как \(ABC\) и \(ADC\) - правильные треугольники, то \(AB = BC = AC = AD = DC\). Следовательно, \(O\) - середина \(AC\), \(BO\) - высота и медиана треугольника \(ABC\), \(DO\) - высота и медиана треугольника \(ADC\).

В правильном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой, поэтому \(BO = DO\). Значит, треугольник \(BOD\) - равнобедренный. \(DO \perp (ABC)\), то угол \(DOB = 90^\circ\). Следовательно, угол \(DBO = \frac{1}{2}(180^\circ - 90^\circ) = 45^\circ\).

Ответ: 45°.