PMNEF = 30, KR = ?

В трапецию MNEF вписана окружность с центром в точке O. KR - отрезок, соединяющий точку касания окружности со стороной MF с точкой R - серединой стороны NE.

Т.к. в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны, т.е.

$$MN + EF = ME + NF$$

Периметр трапеции:

$$P_{MNEF} = MN + NE + EF + FM = 30$$

Т.к. трапеция описана около окружности, то она равнобедренная, т.е. NE = MF, тогда

$$MN + EF + NE + MF = MN + EF + 2MF = 30$$

Известно, что MN + EF = ME + NF, тогда

$$ME + NF + NE + MF = 30$$

Так как ME = NF, то

$$2ME + 2MF = 30$$

$$2(ME + MF) = 30$$ $$ME + MF = 15$$

Т.к. окружность вписана в угол MFE, то центр окружности лежит на биссектрисе угла MFE.

Т.к. трапеция MNEF равнобедренная, то углы при основании ME и NF равны, следовательно треугольники MFE и NEF равны, а значит равны и их высоты.

Отрезок KR является высотой и медианой в треугольнике MFE. Следовательно, KR = ME/2.

Т.к. ME + MF = 15, то ME = 15 - MF, KR = (15-MF)/2

К сожалению, информации для точного расчета KR недостаточно.