3. По данным на рисунке 2 найдите длину отрезка k: a) 5; б) 4; в) 6; г) 4,5.

Решение: В данном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. Рассмотрим большой треугольник с гипотенузой 12 и высотой 8, и маленький треугольник с гипотенузой k и высотой 10. Угол между гипотенузой и катетом, равным 10, общий для большого и малого треугольников. Площадь большого треугольника можно найти двумя способами: 1) $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60$$ 2) $$S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot c$$, где h - высота, проведенная к гипотенузе, c - гипотенуза. Найдем длину основания большого треугольника, обозначим её за x. Площадь будет равна:\frac{1}{2} * x * 8 Составим уравнение:\frac{1}{2} * x * 8 = 60\\ 4x = 60\\x=15 Теперь воспользуемся теоремой Пифагора:a^2 + b^2 = c^2\\10^2 + 8^2 = c^2\\100 + 64 = c^2\\164 = c^2\\c = √164 ≈ 12.8\\Теперь попробуем решить через подобие треугольников. Пусть k - искомая высота. Тогда:\frac{k}{8} = \frac{10}{12}\\k = \frac{8 * 10}{12}\\k = \frac{80}{12}\\k = \frac{20}{3} ≈ 6.67\\Примерно 6. Если предположить, что даны катеты 8 и 10, а нужно найти высоту, проведенную к гипотенузе 12, то площадь равна \frac{1}{2} * 8 * 10 = \frac{1}{2} * h * 12, где h-высота. Тогда 40 = 6h и h = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} ≈ 6.67\\ Если найти решение через соотношение площадей, то: \frac{1}{2}*k*12 = \frac{1}{2}*10*8\\6k = 40\\k = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} ≈ 6.67 Ближе всего ответ в) 6 **Ответ: в) 6**