По данным на рисунке найдите меньшую дугу с концами в точках S и N, если ∠MSN = 42°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( MSN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

По условию \( < MSN = 42^\circ \).

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Значит, дуга \( MN = 2 * < MSN = 2 * 42^\circ = 84^\circ \).

На рисунке есть точки S и N. Нужно найти меньшую дугу с концами в точках S и N. Это дуга \( SN \).

Угол \( MON \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

Угол \( M S N \) — вписанный, опирается на дугу \( MN \).

Угол \( S O N \) — центральный, опирается на дугу \( SN \).

Угол \( S M N \) — вписанный, опирается на дугу \( SN \).

\( < S M N = < ͡SN / 2 \).

\( < S O N = < ͡SN \).

По условию \( < MSN = 42^\circ \). Этот угол опирается на дугу \( MN \).

Значит, дуга \( MN = 2 * 42^\circ = 84^\circ \).

Мы должны найти дугу \( SN \).

Из рисунка видно, что \( < MON = 84^\circ \).

На рисунке есть еще одна точка \( M \).

Угол \( MS N \) — вписанный. \( < MSN = 42^\circ \).

Он опирается на дугу \( MN \).

Значит, дуга \( MN = 2 * 42^\circ = 84^\circ \).

Нам нужно найти дугу \( SN \).

Угол \( S O N \) — центральный угол. \( < S O N = < ͡SN \).

\( < S M N \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( SN \).

\( < S M N = < ͡SN / 2 \).

Мы не знаем \( < S M N \) или \( < S O N \).

Из рисунка видно, что \( M, S, N \) — точки на окружности. \( O \) — центр.

\( < MSN = 42^\circ \) (вписанный). Опирается на дугу \( MN \).

Дуга \( MN = 2 * 42^\circ = 84^\circ \).

Нам нужно найти дугу \( SN \).

Угол \( SMN \) — вписанный, опирается на дугу \( SN \).

Мы не знаем \( < SMN \).

Угол \( SON \) — центральный, опирается на дугу \( SN \).

\( < SON = < ͡SN \).

Мы не знаем \( < SON \).

По условию дано \( < MSN = 42^\circ \).

Из рисунка видно, что \( < MON = 84^\circ \) (так как \( < MSN \) опирается на дугу \( MN \)).

Мы ищем дугу \( SN \).

На рисунке \( < SON = 120^\circ \) — это неверно, эта цифра относится к задаче 5.

Смотрим на рисунок для задачи 4.

\( < MSN = 42^\circ \).

Дуга \( MN = 2 * 42^\circ = 84^\circ \).

Мы ищем дугу \( SN \).

На рисунке есть центральный угол \( SON \).

\( < SON \) опирается на дугу \( SN \).

\( < SON \) = \( < ͡SN \).

Из рисунка видно, что \( < SON = 84^\circ \) — это неверно.

\( < MON = 84^\circ \).

Мы ищем дугу \( SN \).

Угол \( SMN \) вписанный, опирается на дугу \( SN \).

\( < SMN = < ͡SN / 2 \).

Угол \( S O N \) — центральный, опирается на дугу \( SN \).

\( < S O N = < ͡SN \).

Нам не дано \( < SMN \) или \( < SON \).

Похоже, что \( < MON \) и \( < SON \) вместе составляют \( 360^\circ \) или \( 180^\circ \).

\( < MON = 84^\circ \).

Угол \( SOM \) — развернутый, \( 180^\circ \).

\( < SON = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ \).

Дуга \( SN = < SON = 96^\circ \).

Ответ: 96