По данным на рисунке найдите ∠MSN, если ∪SN = 112°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( MSN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

По условию дана величина дуги \( SN = 112^\circ \).

Угол \( MON \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

Угол \( MSN \) — вписанный, опирается на дугу \( MN \).

Угол \( SON \) — центральный, опирается на дугу \( SN \).

Угол \( SNO \) — вписанный, опирается на дугу \( SO \).

Нам нужен угол \( MSN \).

Угол \( MSN \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( MN \).

Угол \( MON \) является центральным углом, который опирается на ту же дугу \( MN \).

По условию дано, что дуга \( SN = 112^\circ \).

На рисунке видно, что \( < SON = 112^\circ \) (центральный угол, опирающийся на дугу \( SN \)).

Угол \( S M N \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( SN \).

Следовательно, \( < SMN = < ͡SN / 2 = 112^\circ / 2 = 56^\circ \).

Однако, по условию нужно найти \( < MSN \), а не \( < SMN \).

\( < MSN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

Из рисунка видно, что \( < MON \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

Угол \( M S N \) — вписанный, опирается на дугу \( MN \).

Угол \( M O N \) — центральный, опирается на дугу \( MN \).

\( < MSN = < ͡MN / 2 \).

\( < MON = < ͡MN \).

На рисунке не дано значение дуги \( MN \).

По условию дано, что дуга \( SN = 112^\circ \).

По рисунку видно, что \( < SON = 112^\circ \) (это центральный угол).

Треугольник \( SON \) равнобедренный, так как \( OS = ON \) (радиусы).

\( < OSN = < ONS = (180^\circ - 112^\circ) / 2 = 68^\circ / 2 = 34^\circ \).

Нам нужно найти \( < MSN \).

\( < MSN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

\( < M S N = < O S N - < O S M \) или \( < M S N = < O S N + < O S M \).

В условии задачи сказано: \( < ͡SN = 112^\circ \).

Нужно найти \( < MSN \).

\( < MSN \) — вписанный угол.

\( < MSN = < ͡MN / 2 \).

По рисунку видно, что \( < MON \) - центральный угол.

\( < SON = 112^\circ \) — центральный угол.

\( < MON = 112^\circ \) — тоже центральный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

Следовательно, \( < ͡MN = 112^\circ \).

\( < MSN = 112^\circ / 2 = 56^\circ \).

Ответ: 56