По данным на рисунке найдите MN, если KM=7, ∠OKM = 30°, а прямые KM и KN являются касательными к окружности.

Так как KM и KN — касательные, то OK — биссектриса ∠MKN. Следовательно, ∠MKO = ∠NKO = 30°.

В прямоугольном треугольнике OMK, sin(∠MKO) = OM/OK. Так как OM — радиус, а OK — гипотенуза, то OM = OK * sin(30°) = OK/2.

В прямоугольном треугольнике OMK, tan(∠MKO) = OM/KM. OM = KM * tan(30°) = 7 * (1/√3) = 7/√3.

Так как OM = OK/2, то OK = 2 * OM = 14/√3.

В треугольнике OMN, OM = ON (радиусы). Угол ∠MON = 180° - 2 * ∠MOK. В треугольнике OMK, ∠MOK = 90° - 30° = 60°. Следовательно, ∠MON = 180° - 2 * 60° = 60°.

Так как треугольник OMN равнобедренный с углом при вершине 60°, то он равносторонний. Следовательно, MN = OM = ON = 7/√3.