По данным на рисунке найдите периметр треугольника М₁NK1, если \( \angle M = \angle M_1, \angle K = \angle K_1 \), N₁K₁ : NK = 2 : 1. 3.

Рассмотрим треугольники $$MNK$$ и $$M_1N_1K_1$$.

В данных треугольниках $$\angle M = \angle M_1, \angle K = \angle K_1$$, следовательно, данные треугольники подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Если треугольники подобны, то стороны пропорциональны, а периметры относятся как стороны.

Найдем периметр треугольника $$MNK$$:

$$P_{MNK} = MN + NK + MK = 7 + 4 + 6 = 17$$.

По условию задачи, стороны относятся как 2:1, следовательно:

$$\frac{N_1K_1}{NK} = \frac{P_{M_1N_1K_1}}{P_{MNK}} = \frac{2}{1}$$.

Выразим периметр треугольника $$M_1N_1K_1$$:

$$P_{M_1N_1K_1} = \frac{2 \cdot P_{MNK}}{1} = 2 \cdot 17 = 34$$.

Ответ: $$P_{M_1N_1K_1} = 34$$.