По данным на рисунке найдите площадь 11. равнобедренной трапеции $$ABCD$$, если $$BK = 3$$ и $$KD = 7$$.

1. Рассмотрим равнобедренную трапецию $$ABCD$$.

2. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, т.е. $$AB = CD$$.

3. Проведём высоту $$CF$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AK = FD$$.

4. $$AD = AK + KD$$, $$AD = AF + FD$$.

5. Так как трапеция равнобедренная, то $$AK = FD$$. Значит, $$KD = AF = 7$$ .

6. $$BC = KF$$.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABK$$. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AK^2 + BK^2$$.

8. Так как трапеция равнобедренная, то $$AK = KD = 7$$ .

9. $$AK = AD - KF - FD=AD - BC=7$$

10. $$BC+2*7=AD => AD-BC=14$$

11. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BK$$.

12. $$AD = AK + KD = 3+7 = 10$$.

13. Найдем $$BC$$.

14. Проведём высоту $$CF$$. $$BC=KF$$. $$AK=DF=(AD-BC)/2=(10-BC)/2$$.

15. В прямоугольном треугольнике $$ABK$$: $$AB^2=AK^2+BK^2$$

16. $$BK=3; KD=7 =>AD=KD+AK=7+AK; =>AK=AD-7;$$

17. В равнобедренной трапеции $$AK=(AD-BC)/2; =>AK+DF+BC=AD =>2AK+BC=AD$$;

18. $$S=(\frac{AD+BC}{2})*h$$
Выразим $$BC$$ через $$AD =>AK=\frac{AD-BC}{2}<=>2AK=AD-BC<=> BC=AD-2*AK=>BC=AD-2*AK$$

К сожалению, не хватает данных, чтобы найти площадь трапеции.

19. Выразим через $$AD$$: $$S=(\frac{AD+AD-2*AK}{2})*h$$
$$S=(\frac{2AD-2AK}{2})*h; S=AD-AK*h=(AD-3)*3$$

20. Подставим $$AD = BK + KD = 3 + 7 = 10$$: $$S = (10 - 3) \cdot 3 = 7 \cdot 3 = 21$$.

Ответ: 21