По данным на рисунке найдите высоту 12. равнобедренной трапеции $$CH$$, если $$AH = 10$$ и $$S_{ABCD} = 38$$.

1. Рассмотрим равнобедренную трапецию $$ABCD$$.

2. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH$$.

3. $$AH$$ - это отрезок от вершины $$A$$ до точки $$H$$ на основании $$AD$$, где $$CH$$ - высота трапеции.

4. В равнобедренной трапеции высоты, проведенные из вершин $$B$$ и $$C$$ к основанию $$AD$$, отсекают равные отрезки $$AH$$ и $$HD$$. То есть $$AH = (AD - BC) / 2$$

5. $$AD = AH + HD$$, $$AH = HD$$, следовательно $$AD - BC = 2 \cdot AH$$.

6. По условию $$AH = 10$$, следовательно, $$AD - BC = 2 \cdot 10 = 20$$.

7. $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH = 38$$.

8. $$BC + AD = \frac{2S}{CH} = \frac{2 \cdot 38}{CH} = \frac{76}{CH}$$.

9. Решим систему уравнений:
$$\begin{cases}AD - BC = 20 \\ AD + BC = \frac{76}{CH}\end{cases}$$

10. Сложим уравнения:
$$2AD = 20 + \frac{76}{CH} \Rightarrow AD = 10 + \frac{38}{CH}$$

11. Вычтем из второго уравнения первое:
$$2BC = \frac{76}{CH} - 20 \Rightarrow BC = \frac{38}{CH} - 10$$

12. $$AD$$ и $$BC$$ должны быть положительными.

13. Проведем высоту $$BK$$ в трапеции.

14. Так как $$AH = KD = 10$$. Тогда $$AD = AK + BC + KD$$

15. Так как $$AH = 10$$, то $$CH = \frac{2S}{BC+AD}=\frac{76}{BC+AD}$$

Из условия $$AH = 10$$ и $$S = 38$$ недостаточно данных для точного определения высоты трапеции $$CH$$.

Если предположить, что $$CH=19/5$$, то $$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot CH=> 38=(\frac{BC+AD}{2})*19/5 => 38*5=BC+AD*19/2=>190*2=(BC+AD)*19=>BC+AD=20$$

Если $$BC+AD=20$$, и $$AH=10$$, то: $$(AD - BC)/2 = 10 =>AD-BC=20$$. Решим систему:

$$AD-BC=20; AD+BC=20$$

$$2AD=40=> AD=20 => BC=0$$

В этом случае, если $$CH=19/5$$, то $$BC=0$$

Но из условия задачи $$BC$$ не равна нулю.

Ответ: недостаточно данных