1 По рисунку 1 вычислите значение ОВ, отношение АС : BD, отношение площадей треугольников АОС и BOD, если угол А равен углу В, DO =6 см, АО = 5 см, СО = 4 см.

Рассмотрим треугольники АОС и BОD.

1) ∠A = ∠B (по условию)

2) ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные)

Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что стороны пропорциональны:

$$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$

$$BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \text{ см}$$

$$AC = AO + OC = 5 + 4 = 9 \text{ см}$$

$$BD = BO + OD = 7.5 + 6 = 13.5 \text{ см}$$

Отношение AC к BD:

$$\frac{AC}{BD} = \frac{9}{13.5} = \frac{90}{135} = \frac{2}{3}$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Коэффициент подобия:

$$k = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: OB = 7.5 см, AC : BD = 2 : 3, отношение площадей треугольников AOC и BOD = 4 : 9