4 В трапеции АBCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника АOD равна 45 см²

Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

1) ∠BOC = ∠AOD (как вертикальные)

2) ∠OBC = ∠ODA (как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD)

Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Коэффициент подобия:

$$k = \frac{AD}{BC} = \frac{12}{4} = 3$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2$$

$$S_{BOC} = \frac{S_{AOD}}{k^2} = \frac{45}{3^2} = \frac{45}{9} = 5 \text{ см}^2$$

Ответ: 5 см²