Побудуйте чотирикутник ABCD на координатній площині, якщо A(-6;-1), B(-6; 3), C(2;3), D(2;-1). Визначте: 1) вид чотирикутника; 2) точку перетину відрізків AC i BD; 3) площу чотирикутника.

Рішення:

1) Вид чотирикутника:

Координати вершин:

• \( A(-6;-1) \)
• \( B(-6; 3) \)
• \( C(2;3) \)
• \( D(2;-1) \)

Знайдемо довжини сторін:

• \( AB = \sqrt{(-6 - (-6))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 \)
• \( BC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8 \)
• \( CD = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4 \)
• \( DA = \sqrt{(-6 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = 8 \)

Оскільки \( AB = CD \) і \( BC = DA \), чотирикутник є паралелограмом. Перевіримо, чи є він прямокутником. Знайдемо скалярний добуток векторів \( \vec{AB} \) і \( \vec{AD} \).

\( \vec{AB} = (0, 4) \)

\( \vec{AD} = (2 - (-6), -1 - (-1)) = (8, 0) \)

\( \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0 \cdot 8 + 4 \cdot 0 = 0 \).

Оскільки скалярний добуток дорівнює 0, вектори перпендикулярні, а отже, кут \( \angle DAB = 90^{\circ} \). Отже, чотирикутник ABCD — прямокутник.

2) Точка перетину відрізків AC і BD:

Знайдемо рівняння прямої AC:

\( \frac{x - (-6)}{2 - (-6)} = \frac{y - (-1)}{3 - (-1)} \) => \( \frac{x + 6}{8} = \frac{y + 1}{4} \) => \( 4(x + 6) = 8(y + 1) \) => \( x + 6 = 2(y + 1) \) => \( x + 6 = 2y + 2 \) => \( x - 2y + 4 = 0 \)

Знайдемо рівняння прямої BD:

\( \frac{x - (-6)}{2 - (-6)} = \frac{y - 3}{-1 - 3} \) => \( \frac{x + 6}{8} = \frac{y - 3}{-4} \) => \( -4(x + 6) = 8(y - 3) \) => \( -(x + 6) = 2(y - 3) \) => \( -x - 6 = 2y - 6 \) => \( -x - 2y = 0 \) => \( x + 2y = 0 \)

Розв'яжемо систему рівнянь:

\( \begin{cases} x - 2y + 4 = 0 \\ x + 2y = 0 \end{cases} \)

Додамо рівняння: \( 2x + 4 = 0 \) => \( 2x = -4 \) => \( x = -2 \).

Підставимо \( x = -2 \) у друге рівняння: \( -2 + 2y = 0 \) => \( 2y = 2 \) => \( y = 1 \).

Точка перетину: \( (-2; 1) \).

3) Площа чотирикутника:

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин суміжних сторін:

\( S = AB \cdot BC = 4 \cdot 8 = 32 \).

Відповідь: 1) прямокутник; 2) \( (-2; 1) \); 3) 32.